Το πείραμα του Ερατοσθένη: Υπολογισμός της περιφέρειας της Γης
Από τους μαθητές της Α’ Λυκείου του ΕΠΑΛ Αίγινας.
Στα πλαίσια του μαθήματος «Ζωνη Δημιουργικών Δραστηριοτήτων»
Το σχολείο μας συμμετείχε σε ένα project με σκοπό την επανάληψη του πειράματος του Ερατοσθένη για τη μέτρηση της περιφέρειας της Γηςτον 3ο αι. π.Χ. Εμπνευστήκαμε από τον πατέρα της μαθηματικής γεωγραφίας, οποίος χρησιμοποίησε ως μόνα εργαλεία μια ράβδο, «βηματιστές» της εποχής για τη μέτρηση αποστάσεων, βασικές αρχές της τριγωνομετρίας και καθαρή σκέψη και προσπαθήσαμε να ενασχοληθούμε με το ίδιο πείραμα με σύγχρονα εργαλεία και γνώση. Πιστεύουμε πως η εμπειρία μιας ολοκληρωμένης πειραματικής διαδικασίας, προσεκτικά σχεδιασμένης με στάδια την ενημέρωση, τον πειραματισμό, την επεξεργασία των μετρήσεων και την εξαγωγή συμπερασμάτων, έχει πρόσθετο μαθησιακό όφελος για τους μαθητές.
Το πείραμα υλοποιήθηκε από τους μαθητές και την υπεύθυνη καθηγήτριά τους βάσει τις εξής παραδοχές και μετρήσεις: Θεωρήσαμε ότι ο κύκλος στο παρακάτω σχήμα είναι η Γη και η έλλειψη στο κέντρο είναι ο ισημερινός. Τις ημέρες κοντά στην εαρινή ισημερία, ο ήλιος βρίσκεται σε ευθεία με την κατακόρυφο στον ισημερινό της γης, με αποτέλεσμα η νύχτα και η ημέρα να έχουν ίση διάρκεια σε οποιοδήποτε σημείο της γήινης επιφάνειας. Όσοι βρίσκονται στον ισημερινό της Γης θα παρατηρήσουν ότι ο Ήλιος το μεσημέρι βρίσκεται πολύ κοντά στο ζενίθ. Επομένως οι ακτίνες πέφτουν κατακόρυφα και ο Ήλιος θα μπορούσε να καθρεφτίζεται στον πυθμένα ενός πηγαδιού, όπως είχε παρατηρήσει και ο Ερατοσθένης.
Θεωρήσαμε ότι η προέκταση μιας ακτίνας του ήλιου είναι η ΙΚ και περνάει από το κέντρο της Γης Κ.Έστω ότι εμείς είμαστε στη θέση Τ. Αν τοποθετήσουμε μια κατακόρυφη ράβδο ΤΑ=Υcm τότε αυτή το μεσημέρι έχει σκιά ΤΣ=Χcm. Υπολογίζουμε την εφαπτομένη της γωνίας ΣΑΤ από το λόγο Σκιά Ραβδιού / Υψος Ραβδιού =Χ/Υ και έτσι βρίσκουμε την γωνία που είναι φ μοίρες. Η γωνία φ είναι ίση με την επίκεντρη γωνία ΤΚΙ ως γωνίες εντός εναλλάξ. Επιπλέον η γωνία φ είναι ίση με το γεωγραφικό πλάτος του τόπου όταν η μέτρηση γίνει τις μέρες της εαρινής ή φθινοπωρινής ισημερίας.
Ο απλούστερος τρόπος για να υπολογίσουμε την απόσταση S της πόλης από τον ισημερινό είναι χρησιμοποιώντας το γεωγραφικό πλάτος. Δεδομένου ότι κάθε βαθμός γεωγραφικού πλάτους αντιπροσωπεύει περίπου 69 μίλια, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε το γεωγραφικό πλάτος του τόπου μας κατά 69 για να υπολογίσουμε πόσα μίλια βρίσκεται η τοποθεσία μας από τον ισημερινό.
Η περίμετρος της Γης C και η ακτίνα της R υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες μαθηματικές σχέσεις:
To πείραμα:
Η όλη διαδικασία χωρίστηκε σε τρεις φάσεις. Την Τετάρτη 15 Μαρτίου προχωρήσαμε στην πρώτη φάση του πειράματος που αφορούσε στην ενημέρωση των μαθητών που συμμετέχουν στο μάθημα ΖΔΔ για το πείραμα του Ερατοσθένη. Κατά τη διάρκεια της παρουσίασης προβλήθηκε ένα κατατοπιστικό βίντεο για το λόγο αυτό. Κατά τη δεύτερη φάση την ίδια μέρα οι μαθητές ενημερώθηκαν για το προσδοκώμενο αποτέλεσμα του πειράματος καθώς και για τα μέσα που θα μπορούσαν να τους διατεθούν για να το εκτελέσουν στο χώρο του σχολείου. Στη συνέχεια έγινε διερεύνηση σχετικά με την μέθοδο κατά την οποία θα μετρούσαν τη γωνία που σχηματίζει νοητά η ακτίνα του ήλιου με το κατακόρυφο ραβδί. Συζητήθηκε επίσης η σχέση αυτής της γωνίας με την επίκεντρη γωνία με κορυφή το κέντρου της γης, μεταξύ του τόπου και του ισημερινού.
Την Τετάρτη 22 Μαρτίου μία μέρα μετά την εαρινή ισημερία, όμως ιδανική γιατί είχε λιακάδα, εκτελέσαμε το πείραμα στο χώρο του σχολείου μας. Στις 12 μ.μ. οι μαθητές πήραν τα φύλλα εργασίας στα οποία θα αποτύπωναν τις μετρήσεις τους και χωρίστηκαν σε 2 ομάδες. Έπειτα, μετέφεραν τις ράβδους και τις στήριξαν με ειδικά τρίποδα στηρίγματα στο προαύλιο του σχολείου. Έκαναν συνεχείς μετρήσεις, σχεδόν ανά τρία λεπτά με τη βοήθεια αλφαδιού και έτσι μόλις ο ήλιος μεσουράνησε (είχαμε υπολογίσει λίγο μετά τις 12:20) οι ομάδες κατάφεραν να σημειώσουν το ίχνος της σκιάς της ράβδου τους. Στη συνέχεια, η μία ομάδα μέτρησε το μήκος της ράβδου και της σκιάς της και υπολόγισε την εφαπτομένη της γωνίας φ από τον λόγο τους. Η άλλη ομάδα έδεσε ένα σκοινί ώστε να προσομοιώσει την υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου με την ακτίνα του ήλιου και μέτρησε την προσκείμενη γωνία με το μοιρογνωμόνιο. Έπειτα υπολόγισε την φ, αφού διαπίστωσε ότι είναι συμπληρωματικές γωνίες, άρα έχουν άθροισμα 90ο. Επιβεβαίωσαν και οι δύο ομάδες ότι το μέγεθος της γωνίας που βρήκαν με διαφορετικό μαθηματικό τρόπο είναι ίδιο και ίσο με 37.4ο. Επιπλέον ισούται με μικρή απόκλιση με το γεωγραφικό πλάτος του τόπου: 37.738921ο, μια απόκλιση που αποδεχτήκαν οι μαθητές ως σύνηθες φαινόμενο στα πλαίσια μιας πειραματικής διαδικασίας.
Για τον υπολογισμό της απόστασης της θέσης μας από τον Ισημερινό της Γης χρησιμοποιήσαμε το γεωγραφικό πλάτος της: Κατά συνέπεια ο πολλαπλασιασμός του με 69 μας δίνει μια συνολική εκτίμηση 2.604 μιλίων μεταξύ της θέσης μας και του ισημερινού ή 4,832km [το ναυτικό μίλι ισούται με 1.852 μέτρα].
Υπολογίσαμε ότι η Περίμετρος της Γης 
Από την περιφέρεια βρήκαμε προσέγγιση της ακτίνας της Γης διαιρώντας με το 2π.
Υπευθυνη εκπαιδευτικός : Λιουδάκη Χρύσα Μαθηματικός